Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{a}{c+2b}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{b+2a}\)
\(VT=\frac{a^2}{ac+2ab}+\frac{b^2}{ab+2bc}+\frac{c^2}{bc+2ca}\)
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho mk hỏi tại sao : \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta có
\(A=\left(a-b+c\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
áp dụng bđt Cauchy ta có
\(A\ge3+2-2-2=1\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
\(\left(a-b+c\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c+a\right)\ge0\)(đúng)
Vậy bài toán được chứng minh
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}=\frac{2}{c}-\frac{1}{a}=\frac{2a-c}{ac}\\\frac{1}{a}=\frac{2}{c}-\frac{1}{b}=\frac{2b-c}{bc}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-c=\frac{ac}{b}\\2b-c=\frac{bc}{a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+c}{2a-c}=\frac{b\left(a+c\right)}{ac}=\frac{ab}{ac}+\frac{bc}{ac}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{b+c}{2b-c}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{ab}{bc}+\frac{ac}{bc}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}\ge2\) ( áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) )
Ta có : \(\frac{a+c}{2a-c}+\frac{b+c}{2b-c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{a+b}{c}\ge2+2=4\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có: \(a+b+c=1\) nên ta được \(1+b-a>0\Rightarrow\frac{a}{1+b-a}>0\)
Ta dễ dàng có thể thấy được là: \(1-\left(a-b\right)^2\le1\) do đó ta có:
\(\frac{a}{1+b-a}\ge\frac{a\left[1-\left(a-b\right)^2\right]}{1+b-a}=a\left(1+a-b\right)\)
Tương tự như trên:
\(\frac{b}{1+c-b}\ge b\left(1+b-c\right);\frac{c}{1+a-b}\ge c\left(1+b-a\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được: \(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge a\left(1+a-b\right)+b\left(1+b-c\right)+c\left(1+c-a\right)\)
Bài sẽ hoàn tất nếu chỉ ra được: \(a\left(1+a-b\right)+b\left(1+b-c\right)+c\left(1+c-a\right)\ge1\)
Hay: \(a+b+c+a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ac\right)\ge1\)
Ta thấy: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (luôn đúng)
Vậy bđt được cm
(Không chắc)
Băng god quá, ganh hong lại:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+ab-a^2\right)+\left(b+bc-b^2\right)+\left(c+ca-c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)