\(a+b=2\); \(a,b\ge0\). Chứng minh \...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 10 2019

Ta sẽ chứng minh: \(ab\left(a-b\right)^2\le\frac{\left(a+b\right)^4}{16}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-6ab+b^2\right)^2\ge0\)(đúng)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a+b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a^2+2ab+b^2=4\end{cases}}\Rightarrow ab=\frac{1}{2}\)

Từ đây ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\ab=\frac{1}{2}\end{cases}}\). Theo hệ thức viet đảo, a, b là hai nghiệm của pt: \(t^2-2t+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\text{hoặc }t=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra \(\left(a;b\right)=\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2};\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\) và các hoán vị của nó

P/s: Em ko chắc chỗ xét dấu đẳng thức đâu nhé!

21 tháng 8 2017

a)  Giả sử bất đẳng thức trên là đúng \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c), ta có ĐPCM                            câu b tương tự nha bn!

21 tháng 8 2017

Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)

Khi a=b=c

Bài 3:

Áp dụng BĐT C-S dạng ENgel ta có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 4:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM

Khi x=y=z

1 tháng 3 2017

mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !

1 tháng 3 2017

bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu

bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)

những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện

30 tháng 10 2017

ta có: \(a^2+b^2=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le1\\b^2\le1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{cases}}.}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\le1\)   (*)

Mặt khác ta có:  \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) (BĐT bu-nhi-a)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\) ( vì a^2 +b^2 =1)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\)  (1)

mà \(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (BĐT bu-nhi-a)

\(\Leftrightarrow1\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)   (2)

Thay (1) vào(2) ta đc: \(1\le\sqrt{2}\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)   (**)

Từ (*);(**)=> đpcm

7 tháng 12 2017

Bài 1:

dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .

Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)

Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)

\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf

7 tháng 12 2017

Làm sao có thể dự đoán được dấu "=" trong bài này vậy ạ ?

15 tháng 8 2017

Ta cm bằng cách bđ tương đương 

\(Cm:ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\Leftrightarrow64ab\left(a+b\right)^2\le1\Leftrightarrow8\left(a+b\right)\sqrt{ab}\le1.\)

Ta có:

\(8\left(a+b\right)\sqrt{ab}=4.\left(a+b\right).2\sqrt{ab}\le4.\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)

19 tháng 7 2019

undefinedundefinedcau c í mk thấy bn chép sai đề nên mk sửa lại đề rồi bạn xem lại đề rồi so với bài làm của mk nha có j ko hiểu thì ib mk nha

19 tháng 7 2019

\(a)VT = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - 4\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a }}\\ = \dfrac{{a + 2\sqrt a + 1 - 4\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\\ = \dfrac{{a - 2\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \sqrt a + 1\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}} + \sqrt a + 1\\ = \sqrt a - 1 + \sqrt a + 1\\ = 2\sqrt a = VP (đpcm) \)

\(b)VT = \dfrac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)\\ = x - \sqrt {xy} + y - x + 2\sqrt {xy} - y\\ = \sqrt {xy} (đpcm)\\ c)VT = \dfrac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\ = \dfrac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}\\ = \sqrt a - \sqrt b .\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\\ = \dfrac{{a - b}}{{a - b}} = 1 (đpcm)\\ d)VT = \left[ {\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}} \right]:\sqrt b \\ = \dfrac{{a - 2\sqrt {ab} + b + 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}:\sqrt b \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right):\sqrt b \\ = \sqrt a + \sqrt b - \sqrt a + \sqrt b :\sqrt b \\ = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b }} = 2 (đpcm) \)

Câu c đề sai (đã sửa)