K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
0
DT
0
XO
11 tháng 2 2022
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Khi đó P = \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\left(4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\right)=-2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-1\right)^2+2\le2\)
Dấu "=" khi a = b = 1
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \sum \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
LD
0
TN
7 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{ab+c}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+c}{4\left(b+c\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{bc+a}{a+1}\le\frac{bc+a}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc+a}{4\left(a+c\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{ac+b}{4\left(a+b\right)}+\frac{ac+b}{4\left(b+c\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta có:
\(Q\le\frac{a+b+c+3}{4}=1\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
0
Mới 2 số thực x, y bất kì, ta luôn có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
\(P=\frac{1}{2}.\left(a+b\right).2\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{8}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=\frac{1}{8}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)