TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LV
15 tháng 6 2017
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
TN
15 tháng 6 2017
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
N
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
Lời giải:
Từ \(4(a+b+c)=3abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}.\frac{1}{b^3}.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{ab}\)
\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{bc}\)
\(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{ac}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:
\(2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\geq \frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-\frac{3}{8}=\frac{3}{2}.\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
TN
5 tháng 11 2016
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
17 tháng 5 2017
\(\frac{a}{1+a}-1+\frac{b}{1+b}-1+\frac{c}{1+c}-1\)
\(=-\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\right)\)
\(\le-\frac{9}{3+a+b+c}=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le-\frac{9}{4}+3=\frac{3}{4}\)
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
bạn quỳnh làm như nào mình không hiểu , bạn chỉ cho mình dòng thứ 2 đc không ?
Áp dụng liên tiếp BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
nếu dương thì dùng cô si 4 số để hạ bậc cũng được