PG
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
31 tháng 7 2019
1. BĐT ban đầu
<=> \(\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+3b}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{b+3c}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{c+3a}\right)\ge\frac{1}{4}\)
<=>\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT buniacoxki dang phân thức
=> BĐT cần CM
<=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng
=> BĐT được CM
31 tháng 7 2019
2) \(a+b+c\le ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\)
ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
Có: \(3\le a+b+c\le ab+bc+ca\le3a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3a^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a\ge1\)
=> \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2a}\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
BH
2
TN
3 tháng 7 2016
bạn tham khảo cho 0<=a,b,c<=1 cmr: a+b2+c3-a.b-a.c-b.c <=1? | Yahoo Hỏi & Đáp
28 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a^2+2\right)\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\) ; \(\frac{1}{c^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Cộng vế theo vế,ta có :
\(\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le\frac{3+\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(=\frac{3+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
28 tháng 4 2020
Đặt \(P=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\)
Thực hiện phép biến đổi theo biểu thức P ta được
\(Q=3-2P=\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{a^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Q\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
\(\Rightarrow P\le1\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
21 tháng 4 2020
1,
a) Ta có \(a^2-ab+b^2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0, trái với a3+b3>0
=> a2-ab+b2>0, mà
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>0
=> a+b>0
Lại có a,b thuộc Z nên a2-ab+b2 >= 1 nên a3+b3 >=a+b
Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}
b) Ta xét 2 TH
-Nếu ab =< 0, ta có:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) >= (a+b)(a2+b2)>= a2+b2, do a+b >=1
-Nếu ab>0 kết hợp với a+b>0 => a>0; b>0 dẫn tới a+b >=2
=> a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) >=2(a2-ab+b2)
=a2+b2+(a-b)2 >= a2+b2
Dẫn tới a3+b3 >= a2+b2
Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}
26 tháng 4 2020
Từ giả thiết ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
\(\frac{3}{ab+bc+ac}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+c}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+6\)
\(\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương ta có:
\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge6+2+2\sqrt{\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)4\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=8+2\sqrt{12}\)
\(>8+2\sqrt{9}=14\)
29 tháng 9 2016
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)
\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)
Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)
Do a ,b , c > 0
\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{2bc}{2abc}+\frac{2ac}{2abc}-\frac{2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy ...
CV
29 tháng 9 2016
Ta có:\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)(với a,b,c > 0)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
<=> \(bc+ac-ab\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{5}{6}< 1\)
Chia 2 vế của bđt cho abc >0 ta dc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)