CN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 1 2020
P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)
P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)
Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{4b}\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{a+a+a+a+4b}\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{25}{4(a+b)}=\frac{25}{4.\frac{5}{4}}=5\)
Vậy $P_{\min}=5$. Giá trị này đạt được tại $a=1; b=\frac{1}{4}$
31 tháng 8 2019
Cách khác
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\left(\sqrt{a}\cdot\frac{2}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot\frac{1}{2\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}\cdot\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\left(2+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}\cdot\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\frac{25}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{a}}{\frac{2}{\sqrt{a}}}=\frac{\sqrt{b}}{\frac{1}{2\sqrt{b}}}\\a+b=\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4b\\a+b=\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
D
0