PP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 5 2019
Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của BĐT ta thu được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
L
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 1 2019
Lời giải:
\(abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow \frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b}; \frac{1-c}{c}\right)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=\left(\frac{1}{x+1}; \frac{1}{y+1}; \frac{1}{z+1}\right)\)
Bài toán trở thành
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. CMR:
\(A=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\)
------------------------
Thật vậy:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+1)^2\leq (x+\frac{1}{y})(x+y)\Rightarrow \frac{1}{(x+1)^2}\geq \frac{y}{(xy+1)(x+y)}\)
\((y+1)^2\leq (y+\frac{1}{x})(y+x)\Rightarrow \frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{x}{(xy+1)(x+y)}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{y}{(xy+1)(x+y)}+\frac{x}{(xy+1)(x+y)}+\frac{1}{(z+1)^2}\)
\(A\geq \frac{x+y}{(xy+1)(x+y)}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}\)
\(A\geq \frac{1}{\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}(*)\)
Mà \(\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq 0\Rightarrow \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018
Bài 1:
Với $a=0$ hoặc $b=0$ thì ta luôn có \(ab=a^ab^b\)
Với $a\neq 0; b\neq 0$ , tức là \(a,b\in (0;1]\)
Ta có: \(a^a-a=a(a^{a-1}-1)=a(\frac{1}{a^{1-a}}-1)=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\)
Với \(0\leq a\leq 1; 1-a\geq 0\Rightarrow a^{1-a}\leq 1\)
\(\Rightarrow 1-a^{1-a}\geq 0\)
\(\Rightarrow a^a-a=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\geq 0\)
\(\Rightarrow a^a\geq a\)
Tương tự: \(b^b\geq b\)
\(\Rightarrow a^ab^b\geq ab\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018
Bài 2:
Ta có :\(\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}\geq 3\left(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1-3a}{3^a}+\frac{1-3b}{3^b}+\frac{1-3c}{3^c}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{3^a}+\frac{a+c-2b}{3^b}+\frac{a+b-2c}{3^c}\geq 0\) (do $a+b+c=1$)
\(\Leftrightarrow (a-b)\left(\frac{1}{3^b}-\frac{1}{3^a}\right)+(b-c)\left(\frac{1}{3^c}-\frac{1}{3^b}\right)+(c-a)\left(\frac{1}{3^a}-\frac{1}{3^c}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}+\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}+\frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0(*)\)
Ta thấy, với mọi \(a\geq b\Rightarrow 3^a\geq 3^b; a\leq b\Rightarrow 3^a\leq 3^b\)
Tức là \(a-b; 3^a-3^b\) luôn cùng dấu
\(\Rightarrow (a-b)(3^a-3^b)\geq 0\). Kết hợp với \(3^{a+b}>0, \forall a,b\)
\(\Rightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}\geq 0\)
Tương tự: \(\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}\geq 0; \frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0\)
Do đó $(*)$ đúng, ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$