Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
b)sai đề
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)
\(=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1/2
Dự đoán bđt xảy ra tại \(a=b=c\)
Đánh giá bđt trên theo bđt Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}=\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+ac+bc\right)}\)
Bài toán hoàn tất khi chỉ ra được \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+ac+bc\right)}\ge1\)Nhưng đánh giá này chính là\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ca+bc\right)\)
Vậy bđt được chứng minh
Ta có: \(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\) (Bunhiacopxki dạng cộng mẫu)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a;b > 0 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Rightarrow a=b>0\)
Vậy ...
Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)
Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .
Theo bđt cô si ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\end{cases}}\)
=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\cdot\sqrt{ab}\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\sqrt{\frac{ab}{ab}}=4\)
=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( Đpcm)
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a ; b là các số nguyên dương )
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu " = " xảy ra khi :
\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b>0\)
Vậy ....