KN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 10 2017
Đặt \(b+c=x;a+c=y;a+b=z\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(\frac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
15 tháng 10 2017
Áp dụng S-vác-sơ, ta có
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
NN
3
19 tháng 5 2019
\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với mọi a và b
PN
1
9 tháng 5 2018
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)>=\left(a+b\right)^2\)(bđt bunhiacopxki) dấu = xảy ra khi a=b
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)>=\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\cdot2\left(a^2+b^2\right)=4\left(a^2+b^2\right)>=2\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
vậy \(\frac{a^2+b^2}{2}>=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)dấu = xảy ra khi a=b
TL
1
KT
1
16 tháng 4 2020
\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(1)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
<=> \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với a, b bất kì
Vậy (1) đúng với mọi a, b bất kì
HH
2
2 tháng 3 2018
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+a^2+b^2 >= a^2+2ab+b^2
<=> 2.(a^2+b^2) >= (a+b)^2
<=> a^2+b^2 >= (a+b)^2/2 = 1^2/2 = 1/2
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2
2 tháng 3 2018
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+a^2+b^2 >= a^2+2ab+b^2
<=> 2.(a^2+b^2) >= (a+b)^2
<=> a^2+b^2 >= (a+b)^2/2 = 1^2/2 = 1/2
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2
Tk mk nha
16 tháng 3 2020
áp dụng BĐT sacxo nên \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
PN
7 tháng 2 2016
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow\) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) trong đó \(x,y,z\ge0\) .
Ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=2.\frac{a}{2}=a\) \(\left(1\right)\)
\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}=2\sqrt{\frac{b^2}{4}}=2.\frac{b}{2}=b\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=2\sqrt{\frac{c^2}{4}}=2.\frac{c}{2}=c\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) \(;\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
Vậy, \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\ge\frac{a+b+c}{2}\)
bđt\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(luôn đúng do bđt bunhia copxki)