TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HY
0
MH
1
N
1 tháng 4 2017
Bài 1: \(a+b\ge1\). cm \(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
ta có : \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)(BĐT bunyakovsky)
Áp dụng BĐt bunyakovsky 1 lần nữa:
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)
dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT bunyakovsky dạng đa thức và phân thức:
\(\left(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]^2=\left(a+b+c\right)^2\)
do đó \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
1 tháng 4 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Lại theo Cauchy-Schwarz lần nữa:
\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2+b^2\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
Trước tiên ta chứng minh \(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\)
Ta chứng minh bổ đề: \(\dfrac{a^3}{b^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Viết các BĐT tương tự và cộng lại
\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge\dfrac{a^2}{b}+a-b+\dfrac{b^2}{c}+b-c+\dfrac{c^2}{a}+c-a=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(2\right)\)
Từ \((1);(2)\) ta thu được ĐPCM
NV
1
HP
17 tháng 4 2016
a)Ta cần c/m bất đẳng thức sau: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{2}\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-a^2\right)+\left(2b^2-b^2\right)-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
b) tương tự
TT
1
30 tháng 7 2023
Từ đề bài ta có :
\(a+b+c=0< =>\left(a+b+c\right)^2=0< =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=1\) < = > 1 + 2 ( ab + ac + bc ) = 0
< = > 2 ( ab + ac + bc ) = -1
< = > ab + ac + bc = -1/2
\(< =>\left(ab+ac+bc\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\)
\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)
\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
Lại có từ \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(< =>\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1< =>a^4+b^4+c^4+2\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]=1\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+2.\dfrac{1}{4}=1< =>a^4+b^4+c^4+\dfrac{1}{2}=1< =>a^4+b^4+c^4=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
NL
1
DN
26 tháng 4 2016
(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)
=1.(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)
= (a – b) (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)
= (a2 – b2) (a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)
= (a4 – b4)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16)
= (a8 – b8)(a8 + b8)(a16 + b16)
= (a16– b16)(a16 + b16)
= a32 – b32
HN
2
5 tháng 8 2017
a) Số lẻ c ó dạng \(2k+1\left(k\in N\right)\)
Bình phương của số lẻ là :
\(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\)
Mà \(4k^2+4k⋮4\)
\(\Leftrightarrow4k^2+4k+1\) chia 4 dư 1
\(\Leftrightarrow\) Bình phương của 1 số lẻ chia 4 dư 1
24 tháng 7 2019
Chứng minh rằng:
a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4 dư 1
Bình phương của một số lẻ có dạng là (2k+1)^2
Ta có:
(2k+1)^2=4k^2+4k+1
Mà 4k^2+4k chia hết cho 4 nên 4k^2+4k+1 chia 4 dư 1.
Hay (2k+1) chia 4 dư 1
b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8 dư 1
Bình phương của một số lẻ có dạng là (2k+1)^2
Ta có: (2k+1)^2=4k^2+4k+1
Ta lại có: 4k^2+4k chia hết cho 4
4k^2+4k chia hết cho 2
Suy ra 4k^2+4k chia hết cho 8
vậy 4k^2+4k+1 chia 8 dư 1
hay (2k+1)^2 chia 8 dư 1
TT
0
Ta có :
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\) ( Bất đẳng thức Bunhiacopski)
Mà lại có \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) (BĐT ....)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^2>\frac{1}{8}\cdot1=\frac{1}{8}\)(đpcm)
KL:.........