HP
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
6 tháng 9 2019
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
EC
4
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(ĐK:a>0;b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (BĐT luôn đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
16 tháng 10 2020
Xí trước phần b
Ta có: \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc}{a^2b+ca^2}+\frac{ca}{b^2c+ab^2}+\frac{ab}{c^2a+bc^2}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2bc^2}+\frac{c^2a^2}{ab^2c^2+a^2b^2c}+\frac{a^2b^2}{a^2bc^2+ab^2c^2}\)
\(=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{bc+ab}+\frac{\left(ab\right)^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
16 tháng 10 2020
Cách làm khác của phần b ngắn gọn hơn:)
Ta có; \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}+\frac{\frac{1}{b^2}}{b\left(c+a\right)}+\frac{\frac{1}{c^2}}{c\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{bc+ab}+\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
TT
11 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức cô si
\(\frac{1}{a^3}+1+1\ge\frac{3}{a}\)
\(\frac{a^3}{b^3}+1+1\ge3\frac{a}{b}\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
Do đó \(VT+6\ge VP+2\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\ge VP+2.3=VP+6\Rightarrow VT\ge VP\left(đpcm\right)\)
11 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta được:
\(\frac{1}{a^3}+1+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{a}\)
\(\frac{a^3}{b^3}+1+1\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3a}{b}\)
\(b^3+1+1\ge3\sqrt[3]{b^3\cdot1\cdot1}=3b\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3+6\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\)
Mà \(3\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\)
\(\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+2\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{b}\cdot b}=\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+6\) (Cauchy)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3+6\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{a}=\frac{a}{b}=b\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b\\b^2=a\end{cases}}\Rightarrow a=b=1\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
ap dung bdt bunhiacopxki ta duoc
\(\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\left(\left(a+1\right)+\left(b+1\right)\right)\ge\left(1+1\right)^2\)
=> \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)(dpcm)
Xét VT = 1/ab + 1/(a² + b²) = 1/2ab + 1/(a² + b²) + 1/2ab
Áp dụng bđt: 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) với x, y >0 và với a + b = 1 ta có:
1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4
Áp dụng bđt 4xy ≤ (x + y)² ta có:
1/2ab = 2/4ab ≥ 2/(a + b)² = 2
=> VT ≥ 4 + 2 = 6
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = ½