Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 1. Áp dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a.\frac{1}{a}}+\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Cách 2. Áp dụng bđt Cauchy :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
Câu hỏi của Called love - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ban jtrar My làm òi nhé !
Bạn tham khảo tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Anh Quân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
~ Ủng hộ nhé
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{\left(a+b\right)}{ab}=\frac{9}{ab}\)
de dc gtnn thi ab phai lon nhat=>
theo bdt cosi ta co:\(a+b>=2\sqrt{ab}\Rightarrow\left(a+b\right)^2>=4ab\Rightarrow\frac{9^2}{4}=\frac{81}{4}>=ab\)
=>\(\frac{9}{ab}\)>=\(9:\frac{81}{4}\)=>\(\frac{9}{ab}>=\frac{4}{9}\)=>gtnn=4/9 xay ra dau = khi a=b=9/2