Question

[Thi Bùi]

cho a^3 +b^3+c^3=3abc và a+b+c khác 0 tính giá trị của biểu thức M=a^2020+b^2020+c^2020/(a+b+c)^2020

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có : a³ + b³ + c³ = 3abc

=> (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc = 0

=> (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc = 0

=> [(a + b)³ + c³] - [(3ab(a + b) + 3abc] = 0

=> (a + b + c)(a² + b² + 2ab - ac - bc + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

=> a² + b² + c² - ab- ac - bc = 0

=> 2(a² + b² + c² - ab- ac - bc) = 0

=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (a² - 2ac + c²) = 0

=> (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² = 0

=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó M = \(\frac{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}{\left(a+b+c\right)^{2020}}=\frac{3.c^{2020}}{\left(3c\right)^{2020}}+\frac{3c^{2020}}{3^{2020}.c^{2020}}=\frac{1}{3^{2019}}\)