NY
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
D
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2020
Lời giải:
Xét $2(a^4+b^4)-(a^3+b^3)(a+b)=a^4+b^4-a^3b-ab^3$
$=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0$ với mọi $a,b>0$
Hay $2(a^4+b^4)-2(a^3+b^3)\geq 0$
$\Rightarrow a^4+b^4\geq a^3+b^3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\ge a^2+b^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le8\)
\(a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow-ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\le a^2+b^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{3\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\le4\)
MN
0
ZP
1
3 tháng 1 2017
Ta có :
\(a^2+ab+b^2=\frac{2a^2+2ab+2b^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^2+a^2+b^2}{2}\ge0\) với mọi a và b
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4-ab^3+b^4-ba^3\ge0\)
\(\Rightarrow ab^3+ba^3\le a^4+b^4\)
Cộng cả hai vế với \(a^4+b^4\) có :
\(a\left(a^3+b^3\right)+b\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2021
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2b-abc-b^2c+ab^2\right)+\left(ca^2+abc-ac^2-a^2b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c^2-ac-bc+ab\right)-a\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge0\) (luôn đúng do \(c\ge b\ge a>0\))
MN
0
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=2(a^4+b^4)-(a^4+ab^3+a^3b+b^4)\)
\(=a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a^4-a^3b)-(ab^3-b^4)\)
\(=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)\)
\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\)
Vì : \((a-b)^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a+b)(a^3+b^3)\)
Ta có đpcm.