Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)
Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b
b.
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)
Theo câu a. thì điều này đúng
Dấu "=" khi a=b=c
a) \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)
\(VP=\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab\)\(=a^2+b^2=VT\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)
\(VP=a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2b^2=a^4+b^4=VT\)\(\Rightarrowđpcm\)
c) \(a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\right]\)
\(VP=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=a^6+b^6\)
\(VP=VT\Rightarrowđpcm\)
d)\(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2]\)
\(VP=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)=a^6-b^6=VT\)
\(VP=VT\Rightarrowđpcm\)
a) Ta có: \(a^2+1\ge2a\)
Tường tự \(b^2+1\ge2b\); \(c^2+1\ge2c\)
Vì \(a^2+1\ge0\);\(b^2+1\ge0\);\(c^2+1\ge0\)nên ta:
Nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều ta được điều phải chứng minh
b) \(a^2+2^2\ge4a\)bạn làm tương tự như câu a) là ra nha!