Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bunhiacopsky ta có
(a3 + b3 + c3)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))\(\ge\)(\(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{c}}\))2 = (a + b + c)2
b) Đặt a+b=s và ab=p. Ta có: \(a^2+b^2=4-\left(\frac{ab+2}{a+b}\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(ab+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow s^2-2p+\frac{\left(p+2\right)^2}{s^2}=4\Leftrightarrow s^4-2ps^2+\left(p+2\right)^2=4s^2\)
\(\Leftrightarrow s^4-2s^2\left(p+2\right)+\left(p+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(s^2-p-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow s^2-p-2=0\Leftrightarrow p+2=s^2\Leftrightarrow\sqrt{p+2}=\left|s\right|\Leftrightarrow\sqrt{ab+2}=\left|a+b\right|\)
Vì a, b là số hữu tỉ nên |a+b| là số hữu tỉ. Vậy \(\sqrt{ab+2}\)là số hữu tỉ
\(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)
Với mọi số thực \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\) ta có đánh giá sau:
\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2+5}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2\left(2x^2+1\right)-x\left(x^2+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\))
Áp dụng: \(P=2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+15}{2}=9\)
\(P_{min}=9\) khi \(a=b=c=1\)
UCT. Chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\) với \(0< a^2;b^2;c^2< \sqrt{3}\)
Tương tự cộng lại là xong
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)và \(b+\frac{1}{b}\ge2\)và \(c+\frac{1}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)( thỏa đề bài)
\(\Leftrightarrow minP=1+1+1+6=9\)
Ta có: (a2+b2)3=(a3+b3)2
=>(a2)3+3a2b2(a2+b2)+(b2)3=(a3)2+2a3b3+(a3)2
=>a6+b6+3a2b2(a2+b2)=a6+b6+2a3b3
=>3a2b2(a2+b2)=2a3b3
=>3.(a2+b2)=2a3b3:a2:b2
=>3.(a2+b2)=2ab
=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{2}{3}\)
=>\(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=\frac{2}{3}\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\)
=>\(C=\frac{2}{3}\)
Vậy \(C=\frac{2}{3}\)