Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\le m\)
Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=\sqrt{4-\left(x-1\right)^2}=t\Rightarrow0\le t\le2\)
BPT trở thành:
\(f\left(t\right)=t^2+4t\le m\)
Để BPT nghiệm đúng với mọi \(t\in\left[0;2\right]\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left[0;2\right]}f\left(t\right)=12\)
\(\Rightarrow m\ge12\)
áp dụng bất đẵng thức côsi cho 2 số dương \(ac\) và \(\dfrac{b}{c}\)
ta có : \(ac+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{ac.\dfrac{b}{c}}\Leftrightarrow ac+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{ab}\) (đpcm)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\frac{x^2+3}{9}+\frac{1}{x^2+3}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9\left(x^2+3\right)}}+\frac{8.\left(0+3\right)}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)