Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: A=11..1 + 44..4+1
2n c/s 1 n c/s 4
biến đổi \(A=111..1+4.11...1+1\)
\(A=\frac{10^{2n}-1}{9}+4.\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)
\(A=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\frac{\left(10..02\right)^2}{9}=\left(3...34\right)^2\) luôn là 1 số chính phương(đpcm)
bn tự bổ sung thêm những chỗ mk viết thiếu'... chữ số' nhé
n-1 c/s 3
Bạn phân tích nhu mình vừa nãy thì sẽ có \(a=\frac{10^{2n}-1}{9}\) \(b=\frac{10^{n+1}-1}{9},c=\frac{6\left(10^n-1\right)}{9}\)
cộng tất cả vào ta sẽ có a+b+c+8 ( 8 =72/9) và bằng
\(\frac{10^{2n}-1+10^{n+1}-1+6\left(10^n-1\right)+72}{9}\)
phân tích 10^2n = (10^n)^2
10^(n+1) = 10^n.10 và 6(10^n-1) thành 6.10^n-6 và cộng 72-1-1=70, ta được
\(\frac{\left(10^n\right)^2+10^n.10+6.10^n-6+70}{9}\)
=\(\frac{\left(10^n\right)^2+10^n.16+64}{9}\)
=\(\frac{\left(10^n+8\right)^2}{3^2}\)
=\(\left(\frac{10^n+8}{3}\right)^2\)
vì 10^n +8 có dạng 10000..08 nên chia hết cho 3 => a+b+c+8 là số chính phương
a=1.....1(2n số 1)=1....1(n số 1).\(10^n\) +1...1(n số 1)
b=1...1(n+1 số 1)=1...1(n số 1).10+1
c=6...6(n số 6)=6.1...1(n số1)
Đặt m=1...1(n số 1) \(\Rightarrow10^n\) =9m+1
a+b+c+8=m.(9m+2)+10m+1+6m+8=9m^2+18m+9=(3m+3)^2 là số chính phương
Ta dễ dàng chứng minh được công thức: \(111...1=\frac{10^n-1}{9}\)
(n số 1)
Áp dụng công thức trên ta có:
\(a+b+1=111...1.10^n+111...1+111...1.4+1\)
(n số 1) (n số 1) (n số 1)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4\right)+1\)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4+3\right)-\frac{10^n-1}{9}.3+1\)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+8\right)-\frac{10^n-1}{3}+1\)
\(=111...1.3.333...36-333...3+1\)
(n số 1) (n - 1 số 3) (n số 3)
\(=333...3.333...36-333...32\)
(n số 3)(n - 1 số 3)(n - 1 số 3)
\(=333...3.333...34+333...3+333...3-333...32\)
(n số 3)(n - 1 số 3)(n số 3) (n số 3) (n - 1 số 3)
\(=333...34^2\), là số chính phương (đpcm)
(n - 1 số 3)