Question

[Nguyễn Thu Trang]

Cho A=1111111....11111(gồm 50 chữ số 1)

       B=222..222(gồm 25 chữ số 2)

Chứng minh rằng A-B là 1 số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

ta viết \(111...11=\frac{10^n-1}{9}\)( có n chữ số 1)

do có công thức\(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2 \)

suy ra \(A-B=\frac{10^{50}-1}{9}-2.\frac{10^{25}-1}{9}=\frac{10^{50}-2.10^{25}+1}{9}=\left(\frac{10^{25}-1}{3}\right)^2 \)

vì 10 chia 3 dư 1 suy ra 10^25 -1 chia hết cho 3 suy ra \(\frac{10^{25}-1}{3}\)là số tự nhiên suy ra A-B là số chính phương