Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. 2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\) \(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a) vậy................... Câu 1: \(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\) \(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\) \(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\) \(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\) \(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\) \(=\sqrt{4+5}=3\) \(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\) \(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\) \(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\) \(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\) \(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\) Lời giải: a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\) \(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\). Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\) Ta có đpcm b) Áp dụng kết quả phần a: \(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\) \(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\) \(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\) ..... \(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\) Do đó: \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\) \(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\) \(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\) \(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm) CM: \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow a+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\) \(\Leftrightarrow\left(a+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2+\frac{a\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow a^2+\frac{2\sqrt{a}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}\) \(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\) Theo trên: \(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\Rightarrow a^2=\frac{\sqrt{2}\left(1-a\right)}{4}\Rightarrow a^4=\frac{a^2-2a+1}{8}\) \(\Rightarrow a^4+a+1=\frac{a^2-2a+1}{8}+a+1=\left(\frac{a+3}{2\sqrt{2}}\right)^2\) \(B=a^2+\sqrt{a^4+a+1}=a^2+\frac{a+3}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}a^2+a+3}{2\sqrt{2}}\)\(=\frac{4a^2+\sqrt{2}a+3\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\) b) \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{a-b}\) \(=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\) \(=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\) \(=\dfrac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\) \(=\dfrac{a}{a-b}\) a: \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\) b: \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\) =>\(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\)(1) \(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\sqrt{\sqrt{a^2+a+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}}=2\) nên (1) đúng
K
Khách
NT
Nguyễn Thành Trương
1 tháng 2 2019
Đúng(0)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 7 2017
PA
13 tháng 7 2017
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
2 tháng 1 2021
7 tháng 10 2018
5 tháng 9 2022
