Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=x\\\sqrt{b}=y\end{matrix}\right.\)
\(bdt\Leftrightarrow x\left(\frac{x}{y}-1\right)\ge y\left(1-\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}-x\ge y-\frac{y^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)
bđt này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)
\("="\Leftrightarrow x=y\Rightarrow a=b\)
Ta có:
\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3a\right)}}\) (nhân 2 vào cả tử và mẫu)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3a}{2}}=\frac{4\left(a+b\right)}{8\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\) (áp dụng BĐT Cô si vào cái mẫu)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4a=a+3b\\4b=b+3a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
\( \sqrt {4a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{4a + 3a + b}}{2} = \dfrac{{7a + b}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{7a + b}}{4}\\ \sqrt {4b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{4b + 3b + a}}{2} = \dfrac{{7b + a}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a + 7a + b}}{4} = 2\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{2} \)
Dấu "=" xảy ra\(\left\{{}\begin{matrix}4a=3a+b\\4b=3b+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)
Kết hợp Mincôpxki và C-S:
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{a+c}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{\frac{405}{4\left(a+b+c\right)^2}+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\frac{405}{12\left(a^2+b^2+c^2\right)}+2\sqrt{\frac{81\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}}=\sqrt{\frac{405}{12.3}+18}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
c,\(\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}.\sqrt{1-a}}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)^2}{\left(1+a\right)-\left(1-a\right)}.\frac{\left(\sqrt{1-a^2}-1\right)}{a}=-1\)
M chỉ làm tiếp thôi nha, ko chép lại đề với đk đâu
a,
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\)\(\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(=0\)
b,
\(=\left(a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right)\left(a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\cdot\frac{a+b-a+b}{a-b}\)
\(=\left(a-b\right)2b=2ab-2b^2\)
Bài 2 : đã cm bên kia
Bài 1: :|
we had điều này:
\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)
Xòng! bunyakovsky
P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<
Thời gian có hạn copy cái này hộ mình vào google xem nha :
https://lazi.vn/quiz/d/16491/nhac-edm-la-loai-nhac-the-loai-gi
Vào xem xong các bạn nhận được 1 thẻ cào mệnh giá 100k nhận thưởng bằng cách nhắn tin vs mình và 1 phần thưởng bí mật là chiếc áo đá bóng,....
Có 300 giải nhanh nha đã có 241 người nhận rồi
OKuk