Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình cũng đang làm
bài này và cũng chưa
biết cách giải
mong các bạn giúp với
2,
ÁP dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(Tự cm) ta có
\(B\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ac}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
Tiếp tục sử dụng bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}=9+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
SD bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge21\)
Do đo \(B\ge21+9=30\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 1 SD cái bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}+\dfrac{d^2}{t}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{x+y+z+t}\)
Phương pháp : nhân các phân thức lần lượt vs tử của nó để xuất hiện bình phương biến đổi mẫu sao cho xuất hiện a +b+c+d .
Ngại trình bày vì dài quá
\(A=\frac{2ab}{4ab}+\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
áp dụng bđt AM-GM , a,b> 0
\(\Rightarrow A\ge2ab\left(\frac{4}{4ab+a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{8ab}{1}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
áp dụng bđt bunhiacopxki
(a^2+b^2)(1^2+1^2) >= (a.1+b.1)^2 = (a+b)^2=4
=>a^2+b^2 >= 4/2=2
dấu "=" xảy ra <=> a=b,mà a+b=2=>a=b=1
Vậy minD=2 khi a=b=1
Đầu tiên ta chứng minh bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng \(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MINP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=2\)
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Lời giải:
Xét
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+ab^2\geq 2a^2b\\ b^3+bc^2\geq 2b^2c\\ c^3+ca^2\geq 2c^2a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (do \(a+b+c=1\))
Do đó, \(A\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 14[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]+\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 14-28(ab+bc+ac)+\frac{3(ab+bc+ac)}{1-2(ab+bc+ac)}\)
Đặt \(ab+bc+ac=t\)
Theo AM-GM thì \(ab+bc+ac\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}\Leftrightarrow t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow t\in (0,\frac{1}{3}]\)
Ta có: \(A\geq 14-28t+\frac{3t}{1-2t}\)
Ta sẽ cm rằng \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Leftrightarrow \frac{14(1-2t)^2+3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\)
\(\Leftrightarrow 168t^2-159t+42\geq 23-46t\)
\(\Leftrightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\) \((\star)\)
Vì \(t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow 3t-1,56t-19\leq 0\Rightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\)
Do đó \((\star)\) đúng kéo theo \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Rightarrow A\geq \frac{23}{3}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Từ giả thiết:
\(a+b+1=8ab\le2\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(2a+2b+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow a+b-1\le0\) (do \(2a+2b+1>0\))
\(\Rightarrow1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)
Ta có:
\(A=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{2ab}{a^2b^2}=\dfrac{2}{ab}\ge2.4=8\)
\(A_{min}=8\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
cho em hỏi là \(a+b+1=8ab\) ≤ \(2\left(a+b\right)^2\)
vì sao ạ? em chưa có hiểu lắm