Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b
ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a
tương tự với các phân số còn lại:
ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c
đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z =>
yz/x + xz/y + xy/z
áp dụng bđt cô-sin =>
yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z
tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y
=> 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4
=> H>= 2
=> bt trên >= 2
a+bc/b+c + b+ca/c+a + c+ab/a+b ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a tương tự với các phân số còn lại: ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a + (1-a)(1-c)/1-b + (1-a)(1-b)/1-c đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z => yz/x + xz/y + xy/z áp dụng bđt cô-sin => yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y => 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4 => H>= 2 => bt trên >= 2
1) Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) :
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(\left(a+2b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)=3.\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)
=> \(a+2b\le3c\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\left(ĐPCM\right)\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{c+a}{ca+b^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac+bc-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{ab+ac-bc-a^2}{\left(bc+a^2\right)a}+\frac{cb+ab-ca-b^2}{b\left(ca+b^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)a}+\frac{\left(c-b\right)\left(b-a\right)}{b\left(ca+b^2\right)}\le0\)
Ta có:\(\left(c-b\right)\left(b-a\right)\ge0;\left(b-a\right)\left(a-c\right)\le0;\left(a-c\right)\left(c-b\right)\le0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}{b\left(ca+b^2\right)}\le\frac{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(c-b\right)\left(b-a\right)}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)a}\)
\(=\frac{-\left(c-b\right)^2}{c\left(ab+c^2\right)}+\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(bc+a^2\right)c}\le0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(VT=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ac^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn có thể làm cho mik bằng cách hệ số bất định được ko?Cảm ơn bạn rất nhiều
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: $1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Từ đây, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c^2}{abc+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\frac{1}{3abc+1}\geq \frac{1}{3.\frac{1}{27}+1}=\frac{9}{10}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Trời ko ai giải dùm hả
Thôi chắc mình tự trả lời cho mn tham khảo quá.
Áp dụng BĐT Cauchy dạng :\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{x+y}\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi : x = y
Ta có :
\(ab+\frac{a}{b}\ge2.\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2\sqrt{a^2}=2a\)
Tương tự : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(ab+\frac{b}{a}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\left(đpcm\right)\)