K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Y
21 tháng 3 2019

\(a_n+a_{n+1}\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)+\left(1+2+3+...+n+1\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{n^2+n}{2}+\frac{n^2+3n+2}{2}\)

\(=\frac{2n^2+4n+2}{2}\)

\(=n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\) là số chính phương

2 tháng 8 2023

\(a_n=1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(n+n+2\right)=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(2n+2\right)\)

\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

2 tháng 8 2023

ko bt

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2019

Lời giải:

Ta có công thức quen thuộc:

\(a_n=1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Do đó:

\(a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

Vậy $a_n+a_{n+1}$ là số chính phương.

NV
12 tháng 4 2019

Đây là toán 8 thật à :(((((

\(a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1\)

Đặt \(b_n=a_{n+1}-a_n\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)

\(\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1=b_n+1\)

Lại có \(b_1=a_{1+1}-a_1=a_2-a_1=2\)

\(\Rightarrow b_2=b_1+1\)

\(\Rightarrow b_3=b_2+1\)

...

\(\Rightarrow b_n=b_{n-1}+1\)

Cộng vế với vế:

\(b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=b_1+b_2+...+b_{n-1}+1+1+...+1\) (n-1 số 1)

\(\Rightarrow b_n=b_1+1\left(n-1\right)=n+1\)

\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n+1\)

Từ đó \(\Rightarrow a_{n+1}=a_n+n+1\)

\(\Rightarrow a_n=a_{n-1}+n\)

\(\Rightarrow a_{n-1}=a_{n-2}+n-1\)

...

\(\Rightarrow a_3=a_2+3\)

\(\Rightarrow a_2=a_1+2\)

Lại cộng vế với nhau:

\(a_{n+1}+a_n+...+a_3+a_2=a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)

\(\Rightarrow a_{n+1}=a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)

\(\Rightarrow a_{n+1}=\left(n+1\right)+n+...+2+1\)

\(\Rightarrow a_n=n+n-1+...+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2}\)

\(\Rightarrow4a_{n+2}a_n+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\) (đpcm)

3 tháng 1 2019

a) \(a_n+1=\left(1+2+3+...+n\right)+1=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+1\)

b) Ta có:

\(a_n+a_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}=\left(n+1\right)^2\)

Vậy an + an + 1 là số chính phương

3 tháng 1 2019

a,

\(a_n+1=1+2+...+n+1=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+1=\dfrac{n\left(n+1\right)+2}{2}\)

b,

\(a_n+a_{n+1}=2a_n+n+1\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\cdot2+n+1=n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)^2\) là số chính phương

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 10 2018

Lời giải:

a) Công thức quen thuộc

\(a_n=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+1=\frac{n(n+1)}{2}+1\)

b) Ta có:

\(a_{n+1}=1+2+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+1+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{2(n+1)(n+1)}{2}=(n+1)^2\)

Vậy \(a_n+a_{n+1}\) là một số chính phương.

16 tháng 10 2020

Bài 1:

a) Đặt \(6x+7=y\)

\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)

\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)

Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)

\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)

\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)

16 tháng 10 2020

Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)

Bài 3:

Ta có:

\(a_n=1+2+3+...+n\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)

\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)

\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)

Là SCP => đpcm

27 tháng 2 2020

a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)

\(2032^n-1984^n⋮3\)

nên An chia hết cho 3

Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)

\(2032^n-1964^n⋮17\)

nên An chia hết cho 17

Vậy A chia hết cho 51

27 tháng 2 2020

b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)

và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)

Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k