Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
Dễ thấy \(B=\dfrac{10^{19}}{10^{19}-3}>1\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{10^{19}}{10^{19}-3}>\dfrac{10^{19}+2}{10^{19}-3+2}=\dfrac{10^{19}+2}{10^{19}-1}=A\)
\(a)A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{100}-1}\)
\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}-1}\)
\(\Rightarrow A=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{15}\right)+...+\left(\frac{1}{2^{99}}+...+\frac{1}{2^{100}-1}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{4}.4+\frac{1}{8}.8+...+\frac{1}{2^{99}}.2^{99}\)
\(\Rightarrow A< 100\left(đpcm\right)\)
\(b)A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{100}-1}\)
\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{100}}+\frac{1}{2^{100}-1}+\frac{1}{2^{100}}-\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2^3}\right)+...+\left(\frac{1}{2^{99}+1}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)-\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow A>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}.2+\frac{1}{2^3}.2^2+...+\frac{1}{2^{100}}.2^{99}-\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow A>1+\frac{1}{2}.100-\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow A>51-\frac{1}{2^{100}}>51-1\)
\(\Rightarrow A>50\left(đpcm\right)\)
Phân số \(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản rồi bạn nhé
ta có :
\(\frac{1}{2.3}>\frac{1}{3^2}>\frac{1}{4.3};\frac{1}{3.4}>\frac{1}{4^2}>\frac{1}{4.5}....\)
Tương tự ta sẽ có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+.+\frac{1}{99.100}>A>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3.4}+..+\frac{1}{100.101}\)
hay ta có :
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}>A>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
hay \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}>A>\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{101}\)
hay ta có : \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}>A>\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{31}{300}\Leftrightarrow\frac{3}{4}>A>\frac{12}{25}\)
vậy ta có điều phải chứng minh