Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=1\\\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2ab+b^2=1\\a^2-2ab+b^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}}\) nên : \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}+\frac{4}{a+b}=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}\)\(P_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên có:
\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)
\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:
\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)
Từ (1);(2) xảy ra khi
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)
Vậy x=2 là nghiệm của pt
Với mọi số thực x; y; z ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) ( tự chứng minh xem; có thể áp dụng )
Ta có: \(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le3\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\left(a+b+c\right)=6\)
=> \(S\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =1/3
Vậy max S = \(\sqrt{6}\) tại a = b = c = 1/3.
Lời giải:
Lần sau bạn chú ý gõ đề bài bằng công thức toán!!!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}=\frac{a}{\sqrt{a+b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{a+b+c-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b+c-c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c+a}}+\frac{c^2}{c\sqrt{a+b}}\)
\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}(*)\)
Và:
\((a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2\leq (a+b+c)(ab+ac+bc+ba+ca+cb)=2(a+b+c)(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT AM-GM : \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\) (quen thuộc)
Do đó:\((a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^3\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)^3}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)^3}}=\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt{\frac{3}{2}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Mình xl vì điện thoại mình kn bấm công thức đk, cảm ơn bạn đã giải và sửa lại đề bài giúp mình nhé!
a, Để A nhận giá trị dương thì \(A>0\)hay \(x-1>0\Leftrightarrow x>1\)
b, \(B=2\sqrt{2^2.5}-3\sqrt{3^2.5}+4\sqrt{4^2.5}\)
\(=4\sqrt{5}-9\sqrt{5}+16\sqrt{5}=\left(4-9+16\right)\sqrt{5}=11\sqrt{5}\)
( theo công thức \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\))
c, Với \(a\ge0;a\ne1\)
\(C=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2\)
\(=\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}+1\right)^2.\frac{1}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}=1\)
Áp dụng BĐT sờ vác sơ,ta có:
\(P\ge\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Dấu "="xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)
Ngoài ra bạn có thể dùng BCS,BĐT phụ 1/x+1/y>=4/x+y,...
Theo đề: \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=4\Rightarrow8=\sqrt{4\left(a+1\right)}+\sqrt{4\left(b+1\right)}\)\(\le\frac{4+\left(a+1\right)}{2}+\frac{4+\left(b+1\right)}{2}=5+\frac{a+b}{2}\Rightarrow a+b\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: \(P=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{6^2}{2}\right)^2}{2}=162\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 3