Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2+4ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)\right]\left(a+b\right)^2+1+2ab+a^2b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(a+b\right)^2\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-\left(ab+1\right)\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(ab+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab+1}=\left|a+b\right|\) là số hữu tỉ (đpcm)
Vì ab+bc+ca=1
\(\Rightarrow a^2+1\)
\(=a^2+ab+bc+ca\)
\(=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)\)
\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta được \(\begin{cases}b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)
\(=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)
Mặt khác a;b;c là số hữa tỉ
\(\Rightarrow\begin{cases}a+b\\b+c\\c+a\end{cases}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) là số hữu tỉ
=> đpcm
thay 1 bởi \(ab+bc+ca\)
Ta có : \(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
Ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)Là một số hữu tỉ vì\(a;b;c\)là các số hữu tỉ
Ta có: \(a=b+c\Rightarrow c=a-b\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^4+a^2b^2-2ab^3+a^4+a^2b^2-2a^3b+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2-ab\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{abc}\right|\)
=> Là một số hữu tỉ do a,b,c là số hữu tỉ
<=> (a2+b2)(a+b)2- 2(a+b)2 +1+ a2b2 -2ab= -4ab <=> (a2+b2)(a2+b2+2ab)- 2(a+b)2+ a2b2+ 2ab+ 1=0
<=> [(a2+b2)2+(a2+b2).2ab+a2b2 ] - 2(a2+b2+2ab)+2ab+1=0 <=> (a2+b2+ab)2- 2(a2+b2+ab)+1=0
<=> (a2+b2+ab-1)2=0 <=> a2+b2+ab-1=0 <=> (a+b)2-(1+ab)=0 <=> (a+b)2 =1+ab => \(\sqrt{1+ab}=\)\(|a+b|\)là số hữu tỉ
\(\left(GT\right)\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(a+b\right)^2\left(1+ab\right)+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)\right]^2=0\Rightarrow\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+ab\Leftrightarrow\left|a+b\right|=\sqrt{1+ab}\left(a,b\inℚ\right)\)
Mình nhầm chút, sửa lại :
\(\left[\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+ab\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}1+ab\ge0\\\sqrt{1+ab}=a+b\end{matrix}\right.\)
Mà a,b là số hữu tỉ nên a+b là số hữu tỉ
Vậy \(\sqrt{1+ab}\) là số hữu tỉ.
Từ giả thiết \(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2=-4ab\)
Ta suy ra được \(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2+b^2+2ab\right)-2\left(1+ab\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(1+ab\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(1+ab\right)\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)^2\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)^2=\left(a+b\right)^2\)
Tới đây bạn tự giải tiếp :)