Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Nếu p=3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\) là số nguyên tố
Nếu \(p\ge5\) thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)=\left(2^p+1\right)+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
Khi p là số nguyên tố , \(p\ge5\)=> p lẻ và p không chia hết cho 3; do đó: \(\left(2^p+1\right)\)chia hết cho 3 và (p-1)(p+1) chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(2^p+p^2\right)\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2+2^p\)không là số nguyên tố
Khi p=2, ta có : \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)là hợp số
Vậy duy nhất có p=3 thỏa mãn.
b) \(a+b+c+d=7\Rightarrow b+c+d=7-a\Rightarrow\left(b+c+d\right)^2=\left(7-a\right)^2\)
Mặt khác: \(\left(b+c+d\right)^2\le3\left(b^2+c^2+d^2\right)\Rightarrow\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\)
Lại có : \(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\)
Giải ra được : \(1\le a\le\frac{5}{2}\)
Vậy : a có thể nhận giá trị lớn nhất là \(\frac{5}{2}\), nhận giá trị nhỏ nhất là 1
Lời giải:
Đặt $d=c+1$
Khi đó:
$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$
$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$
$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$
Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)
Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)
Lời giải:
Đặt $d=c+1$
Khi đó:
$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$
$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$
$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$
Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)
Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)
\(1,\text{Nếu p;q cùng lẻ thì:}7pq^2+p\text{ chẵn};q^3+43p^3+1\text{ lẻ}\Rightarrow\text{có ít nhất 1 số chẵn}\)
\(+,p=2\Rightarrow14q^2+2=q^3+345\Leftrightarrow14q^2=q^3+343\)
\(\Leftrightarrow q^2\left(14-q\right)=343\text{ đến đây thì :))}\)
\(+,q=2\Rightarrow29p=9+43p^3\Leftrightarrow29p-43p^3=9\text{loại}\)
\(+,p=q=2\Rightarrow7.8+2=8+43.8+1\left(\text{loại}\right)\)
Yêu cầu đã được chứng minh tại link sau:
Câu hỏi của trần trác tuyền - Toán lớp 9 | Học trực tuyến