Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))
Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)
\(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)
Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó
Tìm Max
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{a^2+3a+5}\ge\frac{5a+13}{6}\Leftrightarrow a^2+3a+5\ge\frac{25a^2+130a+169}{36}\)
\(\Leftrightarrow36a^2+108a+180\ge25a^2+130a+169\Leftrightarrow11a^2-22a+11\ge0\)
\(\Leftrightarrow11\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\inℝ\)
Dấu = xảy ra khi a=1
Ta có:
\(\sqrt{a^2+3ab+5b^2}=\sqrt{\left(\frac{25a^2}{36}+\frac{130ab}{36}+\frac{169}{36}\right)+\frac{11}{36}\left(a^2-2ab+b^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{5a}{6}+\frac{13b}{6}\right)^2+\frac{11}{36}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5a+13b}{6}\)
Tương tự:\(\sqrt{b^2+3bc+5c^2}\ge\frac{5b+13c}{6};\sqrt{c^2+3ca+5a^2}\ge\frac{5c+13a}{6}\)
Khi đó:\(P=\sqrt{a^2+3ab+5b^2}+\sqrt{b^2+3bc+5c^2}+\sqrt{c^2+3ac+5a^2}\)
\(\ge\frac{5a+13b+5b+13c+5c+13a}{6}=\frac{18\left(a+b+c\right)}{6}=3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)
\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)
\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)
Đề thi học kỳ 1 trường Ams
**Min
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\le1;b\le1;c\le1\Rightarrow a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c\)
Khi đó:
\(\sqrt{a+b^2}\ge\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b+c^2}\ge\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c+a^2}\ge\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Ta có:
\(\sqrt{1-c^2}\ge1-c^2\Leftrightarrow1-c^2\ge1-2c^2+c^4\Leftrightarrow c^2\left(1-c^2\right)\ge0\left(true!!!\right)\)
Tương tự cộng lại:
\(P\ge3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) and hoán vị.
**Max
Có BĐT phụ sau:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\left(ezprove\right)\)
Áp dụng:
\(\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(a+b+c\right)+3}\)
\(\le\sqrt{3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\right)}=\sqrt{3\cdot\sqrt{3}+3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Mình sẽ trình bày chi tiết lời giải như khi viết vào vở, rõ ràng từng bước nhé:
Bài toán: Cho \(a , b , c \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P = \frac{1}{a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{b^{2} + \frac{\left(\right. c - a \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{c^{2} + \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{4}} .\)
Lời giải:
Xét hạng tử thứ nhất:
\(a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} = \frac{\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} .\)
Nhận xét rằng:
\(\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} \leq \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 1^{2} = 1 ,\)
không đúng cho mọi \(a , b , c\). → Ta thử cách khác.
Cách 1: Thử giá trị đặc biệt
- Với \(a = b = c = \frac{1}{3}\):
\(P = \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} = 3 \cdot 9 = 27.\)
- Với \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\):
\(P = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 0 - 1 \left.\right)^{2} / 4} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 1 - 0 \left.\right)^{2} / 4} = 1 + 4 + 4 = 9.\)
Tương tự với \(\left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\), đều có \(P = 9\).
Cách 2: Biện luận
Do \(a + b + c = 1\), giả sử \(a = 1 , b = c = 0\) thì \(P = 9\).
Nếu ba số dương và bằng nhau, \(P = 27 > 9\).
Dễ thấy khi các số phân bố đều, mẫu số nhỏ → giá trị lớn; còn khi dồn hết vào một biến, mẫu số lớn → giá trị nhỏ.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(P\) đạt tại biên, khi một biến bằng 1, hai biến còn lại bằng 0.
Kết luận:
Pmin=9
dấu bằng xảy ra khi \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\) hoặc hoán vị.
xin cái tickkkk=)
biến b để làm gì thế bạn???