Question

[Pham Trong Bach]

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = 1 a 2 + 2 a + 1 b 2 + 2 b + 1 + a 2 1 + b 2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có  ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ 1 + a b = 1 + a + b (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

1 x + 1 y ( x + y ) ≥ 2 1 x . 1 y .2 x y = 4 ⇒ 1 x + 1 y ≥ 4 x + y (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

P ≥ 4 a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + 1 + a + b = 4 a 2 + b 2 + 2 a b + 1 + a + b = 4 ( a + b ) 2 + a + b 8 + 7 ( a + b ) 8 + 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

a + b = a b ≤ ( a + b ) 2 4 ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4 ( a + b ) ⇒ a + b ≥ 4

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

4 ( a + b ) 2 + a + b 16 + a + b 16 ≥ 3 4 ( a + b ) 2 . a + b 16 . a + b 16 3 = 3 4 ⇒ P ≥ 3 4 + 7 8 .4 + 1 = 21 4

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4