Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) a2+b2+c2\(\ge\)3
Đặt a-1 =x , b-1 =y,c-1=z
\(\Rightarrow\)x,y,z \(\in\)[-1;1] và x+y+z=0
pttt: (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)....\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(x+y+z)+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2\(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x,y,z)
+)a2+b2+c2\(\le\)5
Ta có a,b,c\(\in\)[0;2]\(\Rightarrow\)2-a\(\ge\)0 , 2-b\(\ge\)0 , 2-c\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2ab+2ac+2bc\(\ge\)4(a+b+c)+abc-8
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)12 + abc -8=4+abc (vì a+b+c=3)
Mà 4+abc\(\ge\)4 (vì a,b,c\(\in\)[0;2])
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)4
\(\Leftrightarrow\)(a+b+c)2\(\ge\)4 +a2+b2+c2
mà a+b+c=3
\(\Leftrightarrow\)a2+b2+c2\(\le\)33-4=5
Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2)và hoán vị vòng quanh
Vậy bdt được cm
Do \(x,y\inℤ^+\) nên \(x,y\ge1\)
\(2^x+1=3^y\).Dễ thấy \(x\le y\).Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và \(m=y-x\)
Ta có: \(2^x+1=3^{x+m}\)
+Với \(x=y=1\Rightarrow2^1+1=3^{1+0}\left(TM\right)\)
+Với \(1\le x< y\Rightarrow3\le2^x+1< 2^y+1< 3^y\left(KTM\right)\)
Vậy \(x=y=1\) (p/s: không chắc cho lắm,tui mới học lớp 7 thoy)
từ giả thuyết suy ra : abc >0
có 2>a,c,b ->> (2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc) -4(a+b+c)-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc)-4.3-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2(ab+ac+bc) \(\ge\)4+abc \(\ge\)4 (1)
Cộng a2+b2+c2 vào (1)
2(ab+ac+bc)+a2+b2+c2\(\ge\)4+a2+b2+c2
(a+b+c)2-4\(\ge\)a2+b2+c2
thay a+b+c=3 vào
9-4\(\ge\)a2+b2+c2
5 \(\ge\)a2+b2+c2
a2+b2+c2 \(\le\)5
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
Hướng dẫn:
\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{3c^2}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\) (Cauchy cho 3 số không âm )
=> \(3\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le3\).
Dấu "=" <=> a=b=c
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\le3\)
=> \(a+b+c\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.