HB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BP
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
2 tháng 11 2023
Ta có
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=1\)
Mà \(a^3+b^3+c^3=1\)
\(\Rightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Do a;b ;c bình đẳng nên giả sử a = - b
\(\Rightarrow a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow-b+b+c=1\Leftrightarrow c=1\)
\(A=a^n+b^n+c^n\) Do n là số TN lẻ nên
\(A=a^n+b^n+c^n=\left(-b\right)^n+b^n+c^n=-b^n+b^n+c^n=c^n=1^n=1\)
TQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+c^3=\dfrac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3+\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{bc}-\dfrac{1}{ca}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\)
Đề bài thiếu, cần thêm dữ liệu "a;b;c phân biệt"
Khi đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
QV
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+a\geq 2a^2; b^3+b\geq 2b^2; c^3+c\geq 2c^2\)
\(\Rightarrow A=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\leq \frac{a}{2a^2+1}+\frac{b}{2b^2+1}+\frac{c}{2c^2+1}\)
\(\leq \frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}\)
hay \(A\leq \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}(1)\)
Vì $abc=1$ nên đặt \((a,b,c)=(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x})(x,y,z>0)\)
Khi đó:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x})\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz})\)
\(\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+2xy+y^2+2zy+z^2+2xz}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(2)\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
1 tháng 11 2018
bai n ay la bai o dau ma dau cung thay nhi
\(\left(a^{\dfrac{1}{3}};b^{\dfrac{1}{3}};c^{\dfrac{1}{3}}\right)->\left(x;y;z>0\right)\left(xyz=1\right)\)\(\RightarrowΣ\dfrac{x^3}{x^9+x^3+1}\le1\)
\(\dfrac{x^3}{x^9+x^3+1}\le\dfrac{x^2+1}{2\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(x^9+2x^8+4x^7+6x^6+6x^5+6x^4+5x^3+4x^2+2x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^9+x^3+\right)}\le0\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\cdot2=1=VP\)
a=b=c=x=y=z=1
TA
2 tháng 8 2019
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2=1\)
\(ab+bc+ac=0\) và \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2=2\)
\(\)=> a , b , c có 1 số = 1
=> a = 1
NC
31 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
=> đpcm
b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)
=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)