K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
F
Cho a ; b ; c > 0 ; ab + bc + ac = 1
Tìm max : \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}-\dfrac{1}{c^2+1}\)
1
KB
8 tháng 4 2022
ĐK : a;b;c > 0
Ta có : \(ab+bc+ac=1\) \(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=1-ab\Leftrightarrow c=\dfrac{1-ab}{a+b}\)
Khi đó : \(c^2+1=\left(\dfrac{1-ab}{a+b}\right)^2+1\) \(=\dfrac{\left(ab\right)^2+1+a^2+b^2}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{c^2+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)
Ta có : \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}=\dfrac{ab^2+a^2b+a+b}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}=\dfrac{\left(ab+1\right)\left(a+b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)
Suy ra : \(A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}-\dfrac{1}{c^2+1}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1-a-b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)
AD BĐT Cauchy ta được : \(\left(a+b\right)\left[\left(1-a\right)\left(1-b\right)\right]\le\dfrac{\left[a+b+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\right]^2}{4}=\dfrac{\left(1+ab\right)^2}{4}\)
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(ab+1\right)^2\) ( theo BCS )
Suy ra : \(A\le\dfrac{1}{4}\)
NV
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 2
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=2(\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
\geq 2.\frac{9}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=\frac{18}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=18+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2(ab+bc+ac)\leq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\geq 18+\frac{3}{2}=\frac{39}{2}$
Vậậy $P_{\min}=\frac{39}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
27 tháng 4 2023
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)
26 tháng 12 2023
\(P=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=2\left[\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right]+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\)
\(\ge2.\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{18}{1}+\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge18+5.\dfrac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=18+15=33\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3.
Vậy GTNN của P là 33.
EC
2
4 tháng 7 2021
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)
\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
4 tháng 7 2021
Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với
a,b,c >=0 à bạn