\(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 8 2015

+) Chứng minh: \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Áp dụng B ĐT Bu nhia có: (a+ b)2 \(\le\) 2(a2 + b2) => \(a+b\le\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}\)

Tương tự ta có: \(b+c\le\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2};c+a\le\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\)

Cộng từng vế của B ĐT trên => \(2.\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}.\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

=> \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

+) Chứng minh \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\) 

Vì a; b; c là 3 cạnh của tam giác nên ta có: (a - b)2 < c2; (b - c)2 < a2 ;  (c -a) 2 < b2

=> a2 + b2 < c2 + 2ab; b2 + c< a+ 2bc ; c+ a< b2 + 2ac

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\)

Mặt khác, Dễ dạng chứng minh được (x+ y + z)2 \(\le\) 3.(x2+y2+z2)( Bằng cách biến đổi tuơng đương)

=> \(\left(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\right)^2\le3\left(c^2+2ab+a^2+2bc+b^2+2ca\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Theo chứng minh này, dấu "=" không thể xảy ra ở Bất đẳng thức thứ 2

Vậy....