Question

[Thiều Khánh Vi]

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Biểu thức không có giá trị min bạn nhé. Chỉ có giá trị max.

Lời giải:
\(2P=1-\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+1-\frac{b}{b+2\sqrt{ca}}+1-\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\)

\(=3-\left(\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+2\sqrt{bc}+b+2\sqrt{ac}+c+2\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=1\)

Do đó: $2P\leq 3-1=2\Rightarrow P\leq 1$

Vậy $P_{\max}=1$ khi $a=b=c$