HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 4 2022
Ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0;\forall a\) (1)
\(\left(b-1\right)^2\ge0;\forall b\) (2)
\(\left(c-1\right)^2\ge0;\forall c\) (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3) ta được:
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(a+b+c\right)+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) ( đfcm )
PT
19 tháng 4 2022
Ta có:
(a−1)2≥0;∀a(a−1)2≥0;∀a (1)
(b−1)2≥0;∀b(b−1)2≥0;∀b (2)
(c−1)2≥0;∀c(c−1)2≥0;∀c (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3) ta được:
(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0
⇔a2−2a+1+b2−2b+1+c2−2c+1≥0⇔a2−2a+1+b2−2b+1+c2−2c+1≥0
⇔a2+b2+c2−2(a+b+c)+3≥0⇔a2+b2+c2−2(a+b+c)+3≥0
⇔a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)⇔a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) ( đpcm ).
TT
6 tháng 8 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:
\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)
\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
TA
21 tháng 7 2021
a) `4x-2>5x+1`
`<=>-x>3`
`<=>x<-3`
b) Theo BĐT Cauchy:
`a^2+b^2 >= 2ab`
Tương tự:
`b^2+c^2>=2bc`
`c^2+a^2>=2ca`
Cộng vế với vế: `2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca` (ĐPCM)
21 tháng 7 2021
a, \(4x-2>5x+1\Leftrightarrow-x>3\Leftrightarrow x< -3\)
b, Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)* luôn đúng *
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
DC
2
25 tháng 5 2021
a) \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)
Thấy tử và mẫu của phân số đều lớn hơn 0 => \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)
b)\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2a+1\right)+\left(c^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
Dấu = xra khi a=b=c=1
25 tháng 5 2021
b)
\(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
TH
1
PT
1
CM
30 tháng 7 2018
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 - 2 a b ≥ 0
⇒ a 2 + b 2 - 2 a b + 2 a b ≥ 2 a b ⇒ a 2 + b 2 ≥ 2 a b
⇒ a 2 + b 2 . 1 / 2 ≥ 2 a b . 1 / 2 ⇒ a 2 + b 2 / 2 ≥ a b
tu gia thiet suy ra 3a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc>=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0
(a^2+b^2-2ab)+(a^2+c^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)>=0
(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2>=0 (luon dung)
vay 3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2