Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}.\left(\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.\left(2.2.3+2.2.4+2.3.4\right)=26\)
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a< b+c\) (luôn đúng \(\forall\) a;b;c là 3 cạnh của \(\Delta\) )
Vậy \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2\left(b+c\right)}\)
Vì \(a< b+c\)(Bất đẳng thức tam giác)
nên \(a+b+c< 2\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2a}{2\left(b+c\right)}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hay\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\Rightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
ta có: \(P=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{a^2+3ac}{a+c}}{\frac{2a^2}{a+c}}+\frac{\frac{c^2+3ac}{a+c}}{\frac{2c^2}{a+c}}\)
\(=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}=1+\frac{3}{2}\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge1+\frac{3}{2}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
TA có \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
=>\(\frac{2}{b}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)
=>\(\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)
=>\(a=b\)thay vào P:
\(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+d}{2c-b}\)
=>\(P=\frac{2a}{a}+\frac{2c}{c}\)
=>\(P=4\)
\(2ab+3bc+4ca=5abc\)
Do a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác
\(\Rightarrow\frac{2ab}{abc}+\frac{3bc}{abc}+\frac{4ca}{abc}=\frac{5abc}{abc}\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x,y >0 (Dấu "=" xảy ra khi x=y)
Ta có: \(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{a+c-b}\)
\(=\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\right)+\left(\frac{3}{c+a-b}+\frac{3}{a+b-c}\right)+\left(\frac{4}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}\right)\)
\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)
\(\ge\frac{8}{2c}+\frac{12}{2a}+\frac{16}{2b}=2\left(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\right)=10\)
Vậy ...
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\frac{2.\left(y+z\right)}{2}}{x}+\frac{\frac{8.\left(x+z\right)}{2}}{y}+\frac{\frac{18.\left(x+y\right)}{2}}{z}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{y+z}{x}+\frac{4.\left(x+z\right)}{y}+\frac{9.\left(x+y\right)}{z}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{4x}{y}+\frac{4z}{y}+\frac{9x}{z}+\frac{9y}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}+2.\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{9x}{z}}+2.\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=2.2+2.3+2.6=22\)
Dấu " = " xảy ra <=> y=2x; z=3x
KL:........................................