LR
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 8 2017
a) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
b) Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
9 tháng 3 2020
a) \(A=4x^2-12x+100=\left(2x\right)^2-12x+3^2+91=\left(2x-3\right)^2+91\)
Ta có: \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\inℤ\)
\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+91\ge91\)
hay A \(\ge91\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-3\right)^2=0\)
<=> 2x-3=0
<=> 2x=3
<=> \(x=\frac{3}{2}\)
Vậy Min A=91 đạt được khi \(x=\frac{3}{2}\)
b) \(B=-x^2-x+1=-\left(x^2+x-1\right)=-\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)
Ta có: \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) hay B\(\le\frac{5}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
Vậy Max B=\(\frac{5}{4}\)đạt được khi \(x=\frac{-1}{2}\)
9 tháng 3 2020
\(C=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)
\(C=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+x^2+1\)
\(\Leftrightarrow C=\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\inℤ\\x^2\ge0\forall x\inℤ\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\ge1\)
hay C\(\ge\)1
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\x^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}}}\)
Vậy Min C=1 đạt được khi y=1 và x=0
YY
24 tháng 4 2017
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
\(=a^3+a^2\left(b+c\right)+b^3+b^2\left(c+a\right)+c^3+c^2\left(b+a\right)\)
\(=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(b+c+a\right)+c^2\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=1\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)
T
10 tháng 2 2019
Tớ có cách khác:
Từ giả thiết suy ra:
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)\(=a^2+b^2+c^2\)
Lại có: \(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{9}}=\frac{2a}{3}\)
Suy ra \(a^2\ge\frac{2a}{3}-\frac{1}{9}\)
Thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P=a^2+b^2+c^2\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{3}-\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\Leftrightarrow a=b=c=\pm\frac{1}{3}\)
Vậy...
TV
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9 2024
1/
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 4$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{4}{3}$
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{4}{3}$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\frac{2}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9 2024
2/
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+2007\geq 2\sqrt{2007x}$
$\Rightarrow (x+2007)^2\geq (2\sqrt{2007x})^2=8028x$
$\Rightarrow P=\frac{x}{(x+2007)^2}\leq \frac{x}{8028x}=\frac{1}{8028}$
Vậy $P_{\max}=\frac{1}{8028}$ khi $x=2007$
NV
0
HL
1
26 tháng 8 2020
A = x2 + 4x + 7
= ( x2 + 4x + 4 ) + 3
= ( x + 2 )2 + 3
( x + 2 )2 ≥ 0 ∀ x => ( x + 2 )2 + 3 ≥ 3
Đẳng thức xảy ra <=> x + 2 = 0 => x = -2
=> MinA = 3 <=> x = -2
B = 2x2 - 6x
= 2( x2 - 3x + 9/4 ) - 9/2
= 2( x - 3/2 )2 - 9/2
2( x - 3/2 )2 ≥ 0 ∀ x => 2( x - 3/2 )2 -9/2 ≥ -9/2
Đẳng thức xảy ra <=> x - 3/2 = 0 => x = 3/2
=> MinB = -9/2 <=> x = 3/2
C = -2x2 + 8x - 15
= -2( x2 - 4x + 4 ) - 7
= -2( x - 2 )2 - 7
-2( x - 2 )2 ≤ 0 ∀ x => -2( x - 2 )2 - 7 ≤ -7
Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2
=> MaxC = -7 <=> x = 2
NN
Cho a,b,c là các số dương và a2 + b2 + c2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= bc/a + ac/b + ab/c
Thanks .
2
28 tháng 2 2018
Ta có:\(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}+\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}\right)\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\)
Đặt \(A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\)
\(\Rightarrow2A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(2A\ge2\sqrt{\frac{b^2c^2}{a^2}.\frac{a^2c^2}{b^2}}+2\sqrt{\frac{a^2c^2}{b^2}.\frac{a^2b^2}{c^2}}+2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.\frac{b^2c^2}{a^2}}\)
\(=2\sqrt{c^4}+2\sqrt{a^4}+2\sqrt{b^4}=2a^2+2b^2+2c^2=2\)
\(\Rightarrow A\ge1\Rightarrow P^2=A+2\ge1+2=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\).Nên GTNN của P là \(\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
NN
5 tháng 3 2018
Bạn ơi thật ra bạn ko cần dùng Cauchy, dùng BunhiaCopxki phát cuối là đc ^^. Mình giải ra lâu rồi :v
a = -2
b = 2
c = 2
=> \(a^2+b^2+c^2\)=\(-2^2+2^2+2^2\)=4+4+4=12
ta có (a-b)2lớn hơn hoặc bằng 0
<=> a2+b2-2ab lớn hơn hoặc bằng 0
<=> a2+b2 lớn hơn hoặc bằng 2ab(1)
tương tự b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 2bc (2)
a2+c2 lớn hơn hoặc bằng 2ac(3)
cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta được 2(a2+b2+c2) lớn hơn hoặc bằng 2ac+2bc+2ac
mà 2ac+2ab+2bc=(a+b+c)2-( a2+b2+c2)=4-(a2+b2+c2)
nên 2(a2+b2+c2) lớn hơn hoặc bằng 4-(a2+b2+c2)
<=> 3(a2+b2+c2) lớn hơn hoặc bằng 4
<=> (a2+b2+c2) lớn hơn hoặc bằng 4/3
nên gtnn bằng 4/3 dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2/3