Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!
Câu b)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được:
=> \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
=> \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
DẤU "=" Xảy ra <=> \(a=b=c\)
Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!
Ta có \(a+b+c=2\Leftrightarrow b+c=2-a\).
Do đó \(1=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc=a\left(2-a\right)+bc\Leftrightarrow bc=a^2-2a+1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4bc\le\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-2a+1\right)\le\left(2-a\right)^2\Leftrightarrow3a^2-4a\le0\Leftrightarrow a\left(3a-4\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le\dfrac{4}{3}\).
Tương tự với b, c. Ta có đpcm.
\(pt\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
ta có: (a+b+c)2 = 3.(ab+bc+ac)
=> a2 + b2 + c2 + 2.(ab+bc+ac) = 3.(ab+bc+ac)
=> a2 + b2 + c2 + 2.(ab+bc+ac) - 3.(ab+bc+ac) = 0
=> a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (a2 - 2ac + c2) = 0
(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2 = 0
mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(a-c\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi:
(a-b)2 = 0 => a - b = 0 => a = b
(b-c)2 = 0 => b -c = 0 => b = c
(a-c)2 = 0 => a -c =0 => a = c
=> a = b =c
\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+12=4a+4b+4c\\ \Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2\left(dpcm\right)\)
( a + b + c )^2 = 3(ab+bc+ac)
<=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac
<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
<=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
<=>a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
<=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
<=>a-b=0 và b-c=0 và c-a=0
<=>a=b=c