Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2
chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)
mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca
"=" xảy ra khi a=b=c
Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)
\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)
Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)
Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên
Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c
\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)
(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))
Có : a + b + c = 0
=> (a + b)5 = (-c)5
a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = -c5
a5 + b5 + c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4
a5 + b5 + c5 = -5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)
a5 + b5 + c5 = -5ab[(a3 + b3) + (2a2b + 2ab2)]
a5 + b5 + c5 = -5ab[(a + b)(a2 - ab + b2) + 2ab(a + b)]
a5 + b5 + c5 = -5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)
a5 + b5 + c5 = 5abc(a2 + b2 + ab) (do a+b+c=0=> a+b=-c)
2(a5 + b5 + c5) = 5abc(2a2 + 2b2 + 2ab)
2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 +(a2 + 2ab + b2)]
2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 + (a + b)2]
2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) (do a+b=-c=> (a +b )2 = c2
\(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy...
nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh
\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)
=>(đpcm)
mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé
Lời giải:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$
$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$
Khi đó:
$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$
Ta có đpcm.