\(a^2+b^2+c^2=3\)

CMR: \(a^3+b^3+c^3\g...">

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 11 2019

Bài này có gì khó đâu nhỉ?

Ta có: \(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)

Tương tự:\(2b^3+1\ge3b^2;2c^3+1\ge3c^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

Suy ra \(a^3+b^3+c^3\ge3^{\left(dpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

10 tháng 7 2019

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?

2 tháng 9 2019

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).

b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).

Bài 2: tương tự 1b.

2 tháng 9 2019

Bài 3:

Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )

10 tháng 7 2019

Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)

Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)

11 tháng 7 2019

Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):

a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)

BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

\(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)

Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)

Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.

11 tháng 7 2019

Bài ngắn làm trước:

Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:

\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)

\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)

\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)

Dấu "=" xảy ra khi ....

Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"

NV
15 tháng 2 2020

\(P=\sum\frac{a+1}{b^2+1}=\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\ge\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\right)=\sum\left(a+1-\frac{1}{2}b\left(a+1\right)\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)+3\)

\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2+3=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

24 tháng 7 2019

Áp dụng BĐT cosi ta có 

\(\frac{a^6}{b^3}+\frac{b^6}{c^3}+1\ge3\sqrt[3]{\frac{a^6.b^3}{c^3}}=\frac{3a^2b}{c}\)

\(\frac{b^6}{c^3}+\frac{c^6}{a^3}+1\ge\frac{3b^2c}{a}\)

\(\frac{c^6}{a^3}+\frac{a^6}{b^3}+1\ge\frac{3c^2a}{b}\)

Cộng 3 bĐt trên

=> \(2.VT+3\ge3\left(\frac{a^2b}{c}+\frac{b^2c}{a}+\frac{c^2a}{b}\right)=9\)

=> \(VT\ge3\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1