Question

[Kiên Veyna]

cho a. b, c >0. Tìm Min:
\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)

Giups mình vói tối nay mk hk r

Answer 1

[tth_new]

Nhớ làm đâu đó rồi mà làm biếng lục vc:(

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\). Ta đi chứng minh \(P\ge28\)

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^3}{w^3}\ge28\). Chú ý rằng: \(w^3\le uv^2\). Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\Leftrightarrow\frac{v^2}{3u^2-2v^2}+\frac{27u^2}{v^2}\ge28\)\(\Leftrightarrow\frac{3\left(u^2-v^2\right)\left(27u^2-19v^2\right)}{v^2\left(3u^2-2v^2\right)}\ge0\)

Hiển nhiên đúng do \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow u^2\ge v^2\)...

P/s: Bài này dùng SOS đi cho lẹ:D

Answer 2

[tth_new]

Cách 2:

\(P-28=\frac{\left(a+b+c\right)^2\left[\Sigma_{cyc}a\left(b-c\right)^2\right]}{abc\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)\left(9\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)

Vậy \(P\ge28\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)