Question

[Phạm Dương Ngọc Nhi]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = \(\frac{3}{4}\). Chứng minh :
\(\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}\le3\) (*)
Dấu ''='' xảy ra khi nào.
( Chú ý: Vế phải (*) nếu sai sót gì mong các bạn đóng góp ý kiến )

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Áp dụng BĐT \(x^3+y^3+z^3\ge3xy\Leftrightarrow xyz\le\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\)

\(1.1.\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{1+1+a+3b}{3}=\frac{a+3b+2}{3}\)

Tương tự: \(\sqrt[3]{b+3c}\le\frac{b+3c+2}{3}\); \(\sqrt[3]{c+3a}\le\frac{c+3a+2}{3}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)