Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=4a^2b^2-\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)\)
\(=4a^2b^2-a^4-b^4-c^4-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=2a^2b^2-a^4-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=-a^4+2a^2b^2-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(=-\left(a^2-b^2\right)^2-c^2\left(c^2-2b^2-2a^2\right)>0\)
Vậy A > 0
Lời giải:
$A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2$
$=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)$
$=[c^2-(a^2+b^2-2ab)][(a^2+b^2+2ab)-c^2]$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì $c-a+b; c+a-b; a+b-c>0$
Mặt khác $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c>0$
Do đó $A>0$ (đpcm)
Ta có a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác (gt)
⇒ a + b > c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a + b - c > 0
và a + c > b (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c + a - b > 0
và b + c > a (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c - a + b > 0
Theo đề bài ta có:
A = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2
= (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2
= (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2 + c2)
= [(a + b)2 - c2][c2 - (a2 - 2ab + b2)]
= (a + b + c)(a + b - c)[c2 -(a - b)2]
= (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Mà a + b + c > 0 (chu vi tam giác); a + b - c > 0 (cmt); c + a - b > 0 (cmt); c - a + b > 0 (cmt)
⇒ (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) > 0
⇒ A > 0
\(4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\left(\left(a+b\right)^2-c^2\right)\)
\(=\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\)
(bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow\) \(4a^2b^2>\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
Thấy tao siêu chưa, mới có lớp 6 mà làm được toán lớp 8 nha ( tick nhiều nhiều nha)
thằng dinh quoc anh siêu cái gì! Mày nhờ chị mày làm hộ mà còn vênh vênh váo váo!
Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)
hay \(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)(1)
Ta có: \(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)\)
Vì a + b + c > 0 ( Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác kết hợp với (1) thì:
\(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)>0\)
hay A > 0 (đpcm)