Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tính chẵn, lẻ của 5 số ta có các trường hợp sau:
TH1: Cả 5 số đều chẵn (hoặc đều lẻ), khi đó tích \(\left(a_1-a_2\right)\left(a_1-a_3\right)\left(a_1-a_4\right)\left(a_1-a_5\right)\left(a_2-a_3\right)\left(a_2-a_4\right)\left(a_2-a_5\right)\) chia hết cho \(2^8\) => A chia hết cho 32
TH2: Có 4 số đều chẵn (hoặc đều lẻ), giả sử \(a_1,a_2,a_3,a_4\). Khi đó \(\left(a_1-a_2\right)\left(a_1-a_3\right)\left(a_1-a_4\right)\left(a_2-a_3\right)\left(a_2-a_4\right)\left(a_3-a_4\right)\) chia hết cho \(2^6\) => A chia hết cho 32
TH3: Có 3 số chẵn (hoặc lẻ), giả sử \(a_1=2b_1;a_2=2.b_2,a_3=2b_3\), còn 2 số kia lẻ (hoặc chẵn) , giả sử là \(a_4=2b_4+1,a_5=2b_5+1\)..
Khi đó \(\left(a_1-a_2\right)\left(a_1-a_3\right)\left(a_1-a_3\right)\left(a_4-a_5\right)=2^4\left(b_1-b_2\right)\left(b_1-b_3\right)\left(b_2-b_3\right)\left(b_4-b_5\right)\) chia hết cho \(2^4=16\)
Trong các số \(b_1,b_2,b_3\) sẽ lại có ít nhất hai số cùng chẵn (hoặc cùng lẻ), hiệu của hai số này chia hết cho 2. Vậy nên tích trên sẽ chia hết cho 32.
=> Tích A chia hết cho 32.
Ngoài 3 TH trên thì không còn trường hợp nào khác => A luôn chia hết cho 32.
Tương tự, khi chia 5 số cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư, giả sử \(a_1,a_2\). Khi đó \(a_1-a_2\) chia hết cho 3.
Xét 4 số \(a_2,a_3,a_4,a_5\) khi chia cho 3 cũng có 2 số có cùng số dư, giả sử \(a_2,a_3\). Khi đó \(a_2-a_3\) chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3.3 = 9
A vừa chia hết cho 32, lại vừa chia hết cho 9 => A chia hết cho 32.9 = 288.
Giả sử (a1-b1)(a2-b2)...(a7-b7) lẻ
=> a1-b1; a2-b2;...; a7-b7 lẻ
=>(a1-b1)+(a2-b2)+...+(a7-b7) lẻ
<=> (a1+a2+...+a7)-(b1+b2+b3+...+b7) lẻ (1)
theo đề bài ta có a1+a2+...+a7=b1+b2+...+b7
=>(a1+a2+...+a7)-(b1+b2+...+b7)=0 (2)
Từ (1) và (2) =>mâu thuẫn
=> điều giả sử là sai => đpcm
giả sử (a1-b1)(a2-b2)(a3-b3)...(a15-b15) là số lẻ
=>a1-b1;a2-b2;...;a15-b15 là số lẻ
=>a1-b1+a2-b2+...+a15-b15 là số lẻ (1) (vì có 16 cặp số lẻ)
mà a1-b1+a2-b2+...+a15-b15=(a1+a2+...+a15)-(b1+b2+...+b15)=0 là số chẵn (2)
=>(1) và (2) mâu thuẫn nhau
=>(a1-b1)(a2-b2)(a3-b3)...(a15-b15) là số chẵn
=>đpcm
Xét tổng:
\(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)\)
\(=\left(a_1+a_2+...+a_7\right)-\left(b_1+b_2+...+b_7\right)\)
Vì a1;a2;a3;...;a15 và b1;b2;b3;...;b15 cũng là các số nguyên đó nhưng theo thứ tự khác nên
=> \(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)=0\)
Suy ra ít nhất có 1 trong 7 số là số chẵn, vì nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của 7 số lẻ là 1 số và do đó nó khác 0.
Nếu 1 trong 7 số là số chẵn thì tích 7 số đó:
\(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)\)là số chẵn