Question

[Diệp Nguyễn Thị Huyền]

Cho 4 số tự nhiên thỏa tính chất: Bình phƣơng của tổng hai số bất kỳ chia hết cho tích hai số còn lại. Chứng minh rằng có ít nhất ba trong bốn số đó phải bằng nhau

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Đặt d = (a, b, c, d) thì a = dx; b = dy; c = dz; d = dt với (x, y, z, t) = 1.

Dễ thấy x, y, z, t có tính chất giống như a, b, c, d.

Giả sử không tồn tại 3 số trong x, y, z, t bằng nhau. 

Gọi x là số lớn nhất thì x > 1. Nếu x có ước nguyên tố p khác 2 thì p lẻ. Ta thấy \(y^2+z^2⋮xt\Rightarrow y^2+z^2⋮p\). Tương tự \(z^2+t^2⋮p;t^2+y^2⋮p\Rightarrow y^2-z^2⋮p\Rightarrow2y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). Do đó \(x,z,t⋮p\), vô lí.

Do đó x chỉ có ước nguyên tố là 2. 

Nếu \(x=2^k\left(k>1\right)\) thì tương tự ta có \(2y^2⋮2^k\Rightarrow y⋮2\). Tương tự z, t chia hết cho 2 (vô lí)

Do đó x = 2.

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\) thì y = 2; z = t = 1 (Do không có 3 số bằng nhau)

Thử lại ta thấy không thỏa mãn.

Vậy...