Question

[nguyễn thanh huyền]

cho 3 số x,y,z thoả mãn x+y+z >\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)và xyz=1 
chứng tỏ trong ba số có ít nhất một số lớn hơn 1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\Leftrightarrow x+y+z>xy+yz+xz$ (do $xyz=1$)

$\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-xz>0$

$\Leftrightarrow xyz+x+y+z-xy-yz-xz-1>0$

$\Leftrightarrow (x-xy)+(y+z-yz-1)+(xyz-xz)>0$

$\Leftrightarrow x(1-y)+(1-y)(z-1)-xz(1-y)>0$

$\Leftrightarrow (1-y)(x+z-1-xz)>0$

$\Leftrightarrow (1-y)(1-z)(x-1)>0$

$\Leftrightarrow (1-y)(1-z)(1-x)<0(*)$

Nếu trong 3 số $x,y,z$ đều nhỏ hơn $1$ thì $(1-y)(1-z)(1-x)>0$ (mâu thuẫn với $(*)$)

Do đó trong 3 số có ít nhất 1 số lớn hơn $1$.