Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
\(\sum\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
\(\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)^2}}\)
\(=\sum\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
a.
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b.
\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)
do đó:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)
= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3 ta có:
\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{yz+x\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{zx+y\left(x+y+z\right)}}\)
\(B=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{z+x}\right)\)
\(B\le\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy...
nhờ mn giúp mk bài này vs ạ
mk đang cần gấp !
cảm ơn mn nhiều
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)
\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)
Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)
Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)
BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)
Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm
Áp dụng B.C.S ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự cộng lại ta có dpcm.
Dấu = khi x=y=z=1
\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
em cảm ơn thầy ạ