Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Chắc bạn ghi nhầm căn thức thứ 2
\(A2\sqrt{2}=2\sqrt{\left(2x+4\right)\left(x^2-2x+4\right)}+2\sqrt{\left(2y+4\right)\left(y^2-2y+4\right)}+2\sqrt{\left(2z+4\right)\left(z^2-2z+4\right)}\)
\(A2\sqrt{2}\le2x+4+x^2-2x+4+2y+4+y^2-2y+4+2z+4+z^2-2z+4\)
\(A2\sqrt{2}\le x^2+y^2+z^2+24=72\)
\(A\le18\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=4\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số $x,y$ dương ta có \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{4xy}{(x+y)^2}\leq 1\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{4z}{x+y}+\frac{z^2}{(x+y)^2}+1\). Đến đây đặt \(\frac{z}{x+y}=t\). Vì \(x,y,z\in[1;2]\Rightarrow t\in[\frac{1}{4};1]\).
Khi đó \(P\leq t^2+4t+1\leq 1+4+1=6\)
Vậy $P_{max}=6$. Dấu $=$ xảy ra khi \(x=y=1;z=2\)
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(\frac{3(x+y)}{2}.\frac{3(x+y)}{2}.(x+2z).(y+2z)\leq \left(\frac{3x+3y+x+2z+y+2z}{4}\right)^4=(x+y+z)^4\)
\(\Rightarrow \frac{4}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}=\frac{6}{\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^2(x+y)^2(x+2z)(y+2z)}}\geq\frac{6}{(x+y+z)^2}(1)\)
Tương tự \(\frac{5}{(y+z)\sqrt{(y+2x)z+2x)}}\geq \frac{15}{2(x+y+z)^2}(2)\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\((x^2+y^2+z^2+4)(1+1+1+1)\geq (x+y+z+2)^2\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}\leq \frac{8}{x+y+z+2}(3)\)
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq \frac{8}{x+y+z+2}-\frac{27}{2(x+y+z)^2}\)
Đặt \(x+y+z=t\). Ta sẽ đi tìm max của \(f(t)=\frac{8}{t+2}-\frac{27}{2t^2}\)
Có \(f'(t)=\frac{27}{t^3}-\frac{8}{(t+2)^2}=0\Leftrightarrow t=6\)\(\Rightarrow f(t)_{\max}=f(6)=\frac{5}{8}\)
\(\Rightarrow P_{\max}=\frac{5}{8}\). Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=2$