Question

[Nghĩa “Tôi yêu thiên nhiên” Nguyễn....]

cho 3 số thực x,y,z thực không âm .tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Am-Gm:

\(\frac{3(x+y)}{2}.\frac{3(x+y)}{2}.(x+2z).(y+2z)\leq \left(\frac{3x+3y+x+2z+y+2z}{4}\right)^4=(x+y+z)^4\)

\(\Rightarrow \frac{4}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}=\frac{6}{\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^2(x+y)^2(x+2z)(y+2z)}}\geq\frac{6}{(x+y+z)^2}(1)\)

Tương tự \(\frac{5}{(y+z)\sqrt{(y+2x)z+2x)}}\geq \frac{15}{2(x+y+z)^2}(2)\)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((x^2+y^2+z^2+4)(1+1+1+1)\geq (x+y+z+2)^2\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}\leq \frac{8}{x+y+z+2}(3)\)

Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq \frac{8}{x+y+z+2}-\frac{27}{2(x+y+z)^2}\)

Đặt \(x+y+z=t\). Ta sẽ đi tìm max của \(f(t)=\frac{8}{t+2}-\frac{27}{2t^2}\)

Có \(f'(t)=\frac{27}{t^3}-\frac{8}{(t+2)^2}=0\Leftrightarrow t=6\)\(\Rightarrow f(t)_{\max}=f(6)=\frac{5}{8}\)

\(\Rightarrow P_{\max}=\frac{5}{8}\). Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=2$