Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge3+3+2+\frac{20}{4}=13\)
Vậy GTNN của A là 13 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\\c=4\end{cases}}\)
á mk xl nhá mk ko đọc kĩ đề mk làm nhầm rùi bài mk làm là tìm GTNN nhá bạn ( mất công quá
)
ta có A= a+b+c+\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)
= \(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{3c}{4}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)
=\(\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}\)
vì a,b,c >0 ===> \(\dfrac{3a}{4}>0,\dfrac{3}{a}>0,\dfrac{b}{2}>0,\dfrac{9}{2b}>0,\dfrac{c}{4}>0,\dfrac{4}{c}>0\)
áp dụng BĐT côsi cho các cặp số dương ta đc:
\(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}>=2.\sqrt{\dfrac{3a}{4}.\dfrac{3}{a}}=3\)
\(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}>=3\)(làm như trên nhá)
\(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}>=2\)
===> \(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}>=8\left(1\right)\)
có: \(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}=\dfrac{a+2b+3c}{4}\)
mà a+2b+3c >= 20
===> \(\dfrac{a+2b+3c}{4}>=\dfrac{20}{4}=5\)
===> \(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}>=5\left(2\right)\)
từ (1) và(2)===> a+b+c+\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}>=13\)
===> A >= 13
Dấu ''='' xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{3}{a}\\\dfrac{b}{2}=\dfrac{9}{2b}\\\dfrac{c}{4}=\dfrac{4}{c}\\a+2b+3c=20\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)
Vậy Min A=13 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)
bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)
Thêm nữa, áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)
\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Lời giải :
\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy..
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2014}{6}=\frac{1007}{3}\)
Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:
Xem câu hỏi
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)
\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)
Có: \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)
Thử cách này có phải ý bạn không:
\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)
\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)
\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)
Từ đề bài suy ra \(0< a,b,c< 1\)
Ta có: \(P=a^2.\left(b^2.c^2\right).\left(b.c\right)\le a^2.\frac{\left(b^2+c^2\right)^2}{4}.\frac{b^2+c^2}{2}\)
\(=a^2.\frac{\left(b^2+c^2\right)^3}{8}=\frac{a^2\left(1-a^2\right)^3}{8}\)
Đặt \(1\ge a^2=t\ge0\). Khi đó \(P=\frac{t\left(1-t\right)^3}{8}=\frac{3t\left(1-t\right)\left(1-t\right)\left(1-t\right)}{24}\)
\(\le\frac{\left(\frac{3t+1-t+1-t+1-t}{4}\right)^4}{24}=\frac{27}{2048}\)
Dấu bằng tự xét!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{bc}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)
\(\frac{ca}{b+3c+2a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{a}{2}\right)\)
\(\frac{ab}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b}+\frac{b}{2}\right)\)
Cộng theo vế của 3 BĐT ta có:
\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a+b+c}{2}+\frac{ca+ab}{a+c}+\frac{ab+bc}{a+b}+\frac{bc+ca}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=1\)
Dấu "=" khi a=b=c=2
\(10=a+b+c=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}\) \(\ge10\sqrt[10]{\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{b}{3}\right)^3\left(\frac{c}{5}\right)^5}\)
\(\Rightarrow\sqrt[10]{\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{b}{3}\right)^3\left(\frac{c}{5}\right)^5}\le1\Rightarrow\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{b}{3}\right)^3\left(\frac{c}{5}\right)^5\le1\Rightarrow a^2b^3c^5\le2^23^35^5=337500\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}\\a+b+c=10\end{cases}\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{10}=\frac{10}{10}=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\\c=5\end{cases}}}\)
Vậy GTLN của A là 337500